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自然科学の統計学 第1章

統計学

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自然科学の統計学 (基礎統計学)

自然科学の統計学 (基礎統計学)

 

1章の内容メモ

ここでは1章の重要そうな所 + 自分が知らなかった所のメモ.

離散型確率分布

二項分布

幾何分布: 成功するまでベルヌーイ試行を繰り返したときに要する, 試行回数の分布.

負の二項分布: \(M\)回成功するまでベルヌーイ試行を繰り返したときに要する, 試行回数の分布.

超幾何分布: 成功状態が$R$個含まれる$N$個のサンプルから非復元抽出を$n$回繰り返した場合に, その$n$個の内に含まれる成功状態個数の確率分布.

ポアソン分布: 単位時間あたりに平均$\lambda$回発生する事象からちょうど$k$回事象が観測される確率.

 

連続型確率分布

正規分布

指数分布

ガンマ分布

ベータ分布

$\chi^2$分布

 

モーメント母関数

確率変数$X$に対し, $t=0$の近傍で$M(t) = E(e^{tX})$が存在するとき, この関数をモーメント母関数と呼ぶ. $M^{(r)}(0) = E(X^r)$なる性質を利用することで, 期待値や分散を定義から直接導出せずに楽に計算できる場合がある. また, 独立な確率変数の和の分布もモーメント母関数から導出出来る場合がある.

 

中心極限定理

独立同分布に従う確率変数$X_1, ... , X_n$の和$S_n = \sum_{i}^{n}X_i$の分布は, $n \to \infty$で正規分布に従うという定理.

※この章では書かれていなかったが, wikipedia*1によると条件によっては正規分布に収束しないケースがあるらしい. 

 

疑問

p18の例1.5でベータ分布の導出が記載されているが, 以下の部分

ただ一つの$X_i$が$(x, x+dx)$に入り, \(n-m\)個の$X_i$は$x+dx$以上の値をとらねばならない.

は, "少なくとも一つの$X_i$が$(x, x+dx)$に入り, \(n-m\)個の$X_i$は$x$以上の値をとらねばならない." の間違いな気がする. $X_1, ... , X_n$のうち\(m - 1\)個の変数が$x$以下の値を取り, かつ残りの$n-m+1$の変数のうち少なくとも一つが微小区間$(x, x+dx)$内に値を取るという状態になれば, 残りの$X_i$が$x$以上の値を取り続ける限り$X_{(m)}$の値は必ず微小区間$(x, x+dx)$内に存在するため, $(x, x+dx)$に値を取る$X_i$がただ一つだけに限定される必要は無いはず(でも自信無い).

 

感想的な

演習問題もめんどくさがらずやりたい.